CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL


SINTESIS DEL PROGRAMA


COLEGIO “LA FLORIDA”
Clave 1035

MATEMATICAS VI

Asignatura Obligatoria
Clave 1619

Plan de Estudios 1996
Ciclo Lectivo 2007-2008

6º. Año de Preparatoria
Area III y IV

Profesora:
Teresita de Jesús Oñate Ocaña

HORARIO:
Lu: 8:00-8:50, 8:50-9:40
Ma: 10:45-11:35
Mie: 12:05-12:55
Jue: 7:00-7:45

Horas de Clase a la semana: 4
Horas Teóricas: 5 hrs.


PRESENTACION
El presente curso pretende que adquieras y apliques los conocimientos del Cálculo a la solución de problemas específicamente del área económica, de disciplinas sociales en general y del área artística y de humanidades. Partiremos del planteamiento de problemas simples que irán aumentando su complejidad en el tratamiento de un mismo tema.


OBJETIVOS GENERALES
Desarrollarás el razonamiento lógico, el espíritu crítico y el deseo de investigar para adquirir nuevos conocimientos.
Iniciarás en el conocimiento, la comprensión y aplicación del cálculo diferencial e integral, de las progresiones, las matrices y los determinantes, al planteamiento de problemas específicos del entorno biológico, económico, social y humanístico.
Reconocerás en el Cálculo Diferencial e Integral una herramienta útil para el desarrollo de tu futura profesión.


UNIDADES Fecha
I.Progresiones 14 ago al 12 sep 07

II.Función 13 al 26 sep

III.La Derivada 1 oct al 17 ene 08

IV. Integral 21 feb al 2 abr

V.Matrices y Determinantes 7 abr al 5 may 08



METODOLOGÍA
El proceso de aprendizaje será a lo largo del curso a través de una metodología participativa donde como grupo iremos construyendo de modo conjunto el conocimiento. Esto demandará de todos los participantes un compromiso y esfuerzo constantes.
Buscaremos partir de la realidad concreta y ejemplos de la vida cotidiana para analizar la información con la que contamos.
Para desarrollar la capacidad de análisis e interpretación, manejaremos lecturas, ensayos, reportes y exposiciones orales; individuales y en pequeños equipos.


EVALUACIÓN

Los exámenes se realizarán en las fechas que se señalan a continuación:

Parciales Unidades Fecha
1º I ..................... 27 sep.
2º II y III ......... 3 de Dic.
3º IV ................ 14 de Feb.
4º V .................. 3 de Abr y 6 may.

Aspectos a Evaluar
Los aspectos que evaluaremos a través de los exámenes y otras actividades de evaluación son los siguientes:
Examen Escrito 50%
Tareas y ejercicios 30%
Investigación y exposición 20%

Para tener derecho a examen parcial o final requieres el 80% de asistencias.

Requisitos para Exentar
Para que puedas exentar el examen final, deberás tener
- 90% de asistencia
- Promedio de 9 en los parciales
- Entregados todos los trabajos escritos y el 100% de tareas


LINEAMIENTOS

· Serán aplicables todos los puntos descritos en el reglamento de Preparatoria
· La entrada a clase después de 5 min. se considera retardo.
· La acumulación de 3 retardos equivale a una falta injustificada.
· La justificación de una falta debe entregarse firmada por la titular al día siguiente de la falta, después no se tomará en cuenta y contará como falta injustificada.
· La ausencia de clases no justifica no entregar tareas o trabajos destinados para ese día.
· Tareas y ejercicios serán entregados via correo electrónico a la dirección: calculoflorida@gmail.com
· Cualquier trabajo o tarea no entregada en la fecha pre-establecida será aceptada al día siguiente exclusivamente, con un punto menos.
· Todo trabajo de investigación debe contener bibliografía debidamente elaborada. A falta de esta el trabajo será anulado.
· Los errores ortográficos de tareas, trabajos y exámenes serán penalizados en la puntuación total del trabajo.
· En caso de que el alumno/a no se presente en la fecha del examen parcial, se pierde el derecho a éste. Al justificarse la falta, se aplicará en una nueva fecha asignada por la profesora.


BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:

Arizmendi, Hugo et al., Cálculo, México, CECSA, 1990

Bosch, Carlos et al., Cálculo Diferencial e Integral, México, Publicaciones Cultural, S.A.,1985

Swokowski, Earl W., Introducción al Cálculo con Geometría Analítica. México, Iberoamérica, 1988

Swokowski, Earl W., Introducción al Cálculo Diferencial e Integral. México, Iberoamérica, 1988

Swokowski, Earl W., Algebra Universitaria. México, CECSA, 1992

Del Grande, Duff, Introducción al Cálculo Diferencial e Integral. México, Harla, 1972


¿Qué es el Cálculo infinitesimal?

Empezaremos la respuesta a esta pregunta diciendo que el cálculo infini­tesimal es la reformulación de algunos conceptos de matemáticas elemen­tales por medio del uso de un proceso de límite. Si dicho tipo de procesos no te resultan conocidos, la respuesta no es, al menos por el momento, muy esclarecedora. Desde un punto de vista elemental, pode­mos considerar el cálculo infinitesimal como una «máquina de límites»que genera fórmulas nuevas a partir de las viejas. En realidad, el estudio de esta materia lleva consigo tres etapas matemáticas distintas: las mate­máticas previas al cálculo infinitesimal (longitud de un segmento de recta, área de un rectángulo y cuestiones similares), el concepto de límite y las nuevas formulaciones del cálculo infinitesimal (derivadas, integrales, etc).
Algunos estudiantes intentan abordar el estudio de esta materia como si fuese simplemente una colección de fórmulas nuevas. Esto es de lamen­tar. Cuando el estudiante reduce el cálculo infinitesimal a memorizar fórmulas de derivación e integración, se ve privado de una buena dosis de comprensión, confianza en su dominio del tema y satisfacción.
En los cuadros siguientes, verás una lista de algunos conceptos previos junto a sus correspondientes versiones que recurren al cálculo infinitesimal, versiones estas últimas mucho más potentes. A lo largo de este curso, nuestro objetivo es entender cómo se utilizan las técnicas y fórmulas previas como elementos con los que construir las técnicas y fórmulas más generales propias del cálculo infini­tesimal. No debe mostrar preocupación si algunas de las «fórmulas anti­guas» que se incluyen en las dos páginas siguientes no le resultan familia­res, ya que iremos repasando todas ellas.

SUCESIONES Y SERIES

Una pareja de conejos tiene al mes una camada de dos conejos (un macho y una hembra); al cabo de 2 meses, los conejos ya tienen cría (igual mente, dos , una hembra y un macho) ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un año... si al comienzo del año sólo había un par de conejos?




SUCESION: es un conjunto ordenado de números 3,5,7,9,11... Los puntos suspensivos significan que hay más números en la sucesión. Sucesión infinita: que no llega a un último término. Cada número se llama TERMINO de la sucesión:

1er. término a1

2o. término a2...y así sucesivamente.

Algunas sucesiones cuentan con una REGLA que describe al n-ésimo término o TERMINO GENERAL, por ejemplo: 3,5,7,9,11...., 2n+1...

Si sustituímos n por 1,2,3... encontramos cada término:

a1= 2(1) + 1 = 3

a11= 2(11) + 1 = 23

Cómo encontrar el término general para una sucesión: si conocemos los primeros términos pero no el término general...

2,4,6,8,10..... an= 2n

SERIE: si sumamos los términos de una sucesión tenemos una serie:

1,3,5,7,9,....2n-1... (sucesión)

1+3+5+7+9+......(2n-1)+.... (serie)

Es decir que una serie es la suma inidicada de los términos de una sucesión. Pero como muchas sucesiones son INFINITAS, conviene sumar sólo un número finito de términos (SUMA PARCIAL). S3= a1+a2+a3

NOTACION SIGMA

Abrevia la escritura cuando una serie tiene una fórmula para el término general. Se utiliza el simbolo de Sigma y se define el valor inicial de n, y el valor final.


PROGRESION ARITMETICA: es toda sucesión, en la cual cada término después del primero se obtiene SUMANDOLE al término anterior una CANTIDAD CONSTANTE, llamada DIFERENCIA COMUN (d). Cuando d es positiva, la progresión es creciente, cuando d es negativa la progresión es decreciente.
d, se halla restándole a un término cualquiera el término anterior.
N-ésimo término (u) ó para otros (an)
Se calcula sumándole al primer término el producto de la diferencia común por el número de términos menos uno: u=a+(n-1)d
Si despejamos esta misma fórmula podemos obtener la fórmula de la diferencia, cuando sólo tenemos el primer y último término:
d= (u-a)/(n-1)
o bien, para encontrar el primer término, cuando solo conocemos el último, la diferencia común y el número de términos:
a=u-(n-1)d
La suma de términos de una progresión aritmética, se obtiene con la fórmula:
Sn= (a+u)n/2
Para encontrar los medios aritméticos, se usa la fórmula de la diferencia común o bien la fórmula donde m es el número de medios a interpolar:
d=(u-a)/(n-1)
d=(u-a)/(m+1)
MEDIA ARITMETICA, es el promedio o media de una serie de números. Se suman todos los números y se divide entre el número de términos...
X= (a1+a2+a3 .....+an )/n

PROGRESION GEOMETRICA: Es toda sucesión en la cual cada término se obtiene por MULTIPLICAR el anterior por una cantidad r constante, que es la RAZÓN.
Una progresión geométrica es creciente cuando r mayor que 1
Una progresión geométrica es decreciente cuando r es una fracción propia (mayor que cero, pero menor que uno)
La razón se obtiene dividiendo cualquier término por el anterior.
El n-ésimo término se obtiene al multiplicar el primer término por la razón elevada a la potencia n-1:
al despejar, podemos obtener r, en función del último y primer término, sacandole raíz (n-1) al resultado de dividir u/a
Para obtener la suma de términos de una progresión geométrica, se aplica la siguiente fórmula:
S=(ur-a)/(r-1)
MEDIA GEOMETRICA: es la raíz n-ésima del producto de los términos de una progresión geométrica.
Para interpolar medios geométricos, hay que obtener la razón y después ir multiplicando el primer término por la razón, después el segundo y así sucesivamente.
Se puede usar la misma formula de la razón, pero sacar la raíz (m+1), donde m, es el número de medios a interpolar.
Para obtener la suma de una progresión geométrica infinita, debe ser forsozamente decreciente y la fórmula es similar a la de la suma de una progresión geométrica: S= a/(1-r)
Y el resultado es el límite al cual tiende la suma. Nunca llega a ser ese número. A mayor número de términos sumados más se acerca al límite.
PROGRESION ARMONICA: es una sucesión de números cuyos recíprocos forman una progresión aritmética. Se usan las mismas fórmulas que para la progresión aritmética, solo que el resultado se aplica como recíproco.

UNIDAD II
FUNCIONES

Repaso de temas de álgebra:
Números Reales (R), contiene el conjunto de números Racionales e Irracionales. Los racionales a/b donde b diferente de cero. Los decimales de los números racionales terminan o bien son periódicos. Los decimales de los números irracionales ni terminan ni son periódicos....

Desigualdades:
"es mayor que"
"es menor que"
Gráficas de desigualdades. Cuando una desigualdad se multiplica o divide por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte.
Intervalos:
Intervalo cerrado [a,b] , donde a"es menor o igual que" x "es menor o igual que" b
Intervalo abierto (a,b) , donde a"es menor que" x "es menor que" b
Intervalo semicerrado o semiabierto, a la izquierda o a la derecha [a,b) , donde a"es menor o igual que" x "es menor que" b
(a,b] , donde a"es menor que" x "es menor o igual que" b

Valor absoluto: de un número real a, sigue las reglas:
valor absoluto de a= a cuando a es positivo ó cero
valor absoluto de a=-a cuando a es negativo
Coordenadas rectangulares y gráficas. Sistema coordenado rectangular o cartesiano. Ejes coordenados. Gráficas de ecuaciones. Encontramos los puntos que satisfacen la ecuación, asignando valores a "x" y calculando el valor de "y". Se obtienen pares ordenados (x,y), donde x es la abscisa y y es la ordenada. Y se localizan en los ejes cartesianos. XX' es la línea horizontal. YY' es la línea vertical, se cruzan en el origen (0,0)

Interceptos en XX', interceptos en YY'
dándole valor y=0 , despejando x, encontramos el punto (x,0), intercepto enXX'
dándole valor x=0, encontramos el punto (0,y) , intercepto en YY'

SIMETRIA DE LA GRAFICA con respecto a ejes y origen:
Simétrico con respecto al eje XX', si para todo (x,y) hay un (x,-y)(ojo este tipo de simetría no corresponde a una función)
Simétrico con respecto al eje YY' , si para todo (x,y) hay un (-x,y) Simétrico con respecto al origen (0,0), si para todo (x,y) hay un (-x,-y)

DEFINCION DE FUNCION: Sean X y Y dos conjuntos no vacíos de números reales. Una función de X hacia Y es una regla o una correspondencia que asocia a cada elemento de X con un elemento único de Y. El conjunto X se llama Dominio de la función. Para cada elemento x en X, el elemento correspondiente y en Y se llama valor de la función en x ó imagen de x. El conjunto de todas las imágenes de los elementos del dominio se llama RANGO de la función.
Las funciones se denotan con las letras f, F, g, G.... f(x) se lee "f de x" ó "f en x". Llamaremos a f(x) valor de f en el número x. Así f(x) es el número que resulta cuando x es dado y se aplica la regla para f.

DETERMINACION DE LOS VALORES DE UNA FUNCION
Para la función f(x)=x+1, encuentra el valor de f en f(0), f(a), f(-1)
f(0)= 0+1 = 1
f(a)= a+1 = a+1
f(-1) = -1+1 = 0
Así encontramos los pares ordenados (0,1), (a,a+1), (-1,0) y los graficamos en un eje cartesiano.
Función explícita y función implícita. La explícita es cuando la variable dependiente está despejada, por ejemplo en f(x) = y = 2x+1
La implícita, no lo está, por ejemplo en 2x+3y=6

DOMINIO DE UNA FUNCION
Con frecuencia no se especifica, sino sólo se da la regla de correspondencia. El dominio es el mayor conjunto de números reales para los cuales la regla tiene sentido o mejor dicho para el cual el valor de f(x) es un número real.
Obtención del dominio de una función:
Analizamos la regla de correspondencia, de modo que algún valor de x no provoque una indeterminación o una raíz imaginaria. El dominio de una función se expresa usando la notación de intervalo (-2,7] o la notación de conjunto {x tal que x sea mayor que -2 ó menor o igual a 7}
Cuando empleamos funciones en aplicaciones, el dominio puede estar restringido por consideraciones físicas o geométricas. Por ejemplo, si f es la regla para obtener el área de un cuadrado cuando se conoce la longitud de un lado, entonces debemos restringir el dominio de f a los números reales positivos ya que la longitud de un lado nunca puede ser cero o negativa.

VARIABLE INDEPENDIENTE Y VARIABLE DEPENDIENTE. Siendo la función y=f(x), la variable "x" se llama independiente porque se le pueden asignar cualquier número de los que perpmite el dominio. La variable "y" se llama dependiente porque su valor depende del valor que asignemos a "x".
El costo en dólares por pie cuadrado de la construcción de una casa es $110 . Expresa el costo "C" como función del número "x" de pies cuadrados. ¿cuál es el costo de construir una casa de 2,000 pies cuadrados?
C(x)=110x función que expresa la relación entre superficie y costo
El dominio es (0,infinito) ya que una casa no puede tener cero pies cuadrados o pies negativos...
C(2000)= 110(2000)= $220,000 dólares
Realiza los siguientes ejercicios:
Expresa el área A de una circunferencia en función de su radio.
Expresa el salario G total de una persona que percibe $50 por hora en función del número x de horas trabajadas.Expresa el perímetro P de un cuadrado en función de su área A
Expresa el área A de un círculo en función de su perímetro P
Expresa el área A de un triángulo equilatero en función de la longitud "s" de uno de sus lados
Expresa el volumen de un cubo en función del área A de su base.

GRAFICA DE UNA FUNCION
Una gráfica suele mostrar más claramente una relación entre dos ovariables que una tabla o una ecuación...

El conjunto de puntos (x,y) en el plano cartesiano que satisfacen la ecuación o regla que define una función, es la gráfica de f.
No todas las gráficas son representativas de una función...
PRUEBA DE LA LINEA VERTICAL: un conjunto de puntos en el plano cartesiano es gráfica de una función, sí y sólo si una línea vertical intersecta la gráfica cuanto más en un punto .
Si la línea vertical intersecta la gráfica en más de un punto, la gráfica no es la de una función sino de una relación cualquiera.
Identifica funciones en distintas gráficas, usando la prueba de la línea vertical...

PARES ORDENADOS: una función f es un conjunto de pares ordenados (x,y) ó (x,f(x)), en el que dos pares cualesquiera no tienen el misimo primer elemento. Así a cada elemento "x" del dominio de le asocia un elemento único en el rango o imagen.
Ninguno de dos pares, tienen el mismo primer elemento, aunque hay pares que sí tienen el mismo segundo elemento.

COMO OBTENER O DETERMINAR DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION SI TENEMOS LA GRAFICA CORRESPONDIENTE: cuando se da la gráfica de una función, su dominio es la sombra creada por la gráfica sobre el eje XX' (por rayos verticales de luz). Su rango es la sombra creada por la gráfica sobre el eje YY' (por rayos horizontales de luz)...

SIMETRIA: recordemos lo que hablamos de simetría en ecuaciones...Para una función y=f(x) se dice que es simétrica al eje YY' si se cumple f(-x) 0 f(x). Y se dice que la función es PAR
Para una función y=f(x) se dice que es simétrica al origen (0,0), si se cumple que f(-x)= -f(x) y se dice que lal función es IMPAR.
Si la gráfica es simétrica al eje XX' entonces NO ES FUNCION.
Algunas funciones no son ni pares ni impares, es decir no son simétricas ni con respecto al eje YY' ni con respecto al origen (0,0)
Los polinomios con grado par, son funciones pares, simétricas a YY'
Los polinomios con grado impar son funciones impares, simétricas al origen (0,0)
Cuando el polinomio tiene grado par e impar no es simétrica.


TAREA INTEGRALES INDEFINIDAS.

usar los primeros teoremas vistos en clase...Las variables del denominador, pasalas al numerador; si encuentras productos notables, resuélvelos antes de integrar; no olvides todas las constantes, sácalas de la integral, pero luego deberás multiplicarlas por el resultado obtenido. Simplifica las fracciones que se puedan simplificar. Y siempre deja el resultado con exponentes positivos, aunque fraccionarios...

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